Funciones

                                                      Función cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, cuyo modelo es  f(x) = ax² + bx +c  donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. 

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre: ax ² es el termino cuadrática, bx es el termino lineal y c es el termino independiente. 

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Para calcular el vértice de la parábola, es decir, el punto donde la parábola cruza su eje de simetría utilizamos la siguiente formula:

Ejemplo: y= -x²+4x-3

1) Vértice: (2,1) 

2) Puntos de corte con el eje X: (3,0) (1,0) 

3) Punto de corte con el eje Y: (0,-3) 

Valores que toman los parámetros:

A=determina si el gráfico será hacia arriba o abajo.

B= determinara el vértice.

C= la ordenada de origen donde corta el eje y.

¿Como representar una función cuadrática? 

Este vídeo mostrará como representar una función cuadrática.

Practica del tema 

1) Representar las siguientes funciones:

f(x)= x² f(x)= -x² 

a) f(x)= x²: como vemos a es positivo por lo tanto las ramas de la parábola van hacia arriba.

2) f(x)= -x²: como vemos a es negativo por lo tanto las ramas de la parábola van hacia abajo. 

Dominio de funciones

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

El siguiente vídeo explica como determinar el dominio de una función.

        

Funciones

                                                         Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, cuya modelo de la función es f(x)=a.x+b donde la representación en el sistema de planos cartesianos es una línea recta; a es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje y. 

El dominio de una función lineal es x en todos los números reales, es decir, son los elementos de un conjunto de partida; y la imagen es y en todos los números reales, es decir, los elementos de un conjunto de llegada. Cada elemento del dominio le corresponde uno, en el imagen. 

Ejemplo de funciones lineales: y=0,5x + 2, y= –x + 5

Representación de las funciones:

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: y = 0,5x + 2 en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y = 2.

En la ecuación: y = –x + 5 la pendiente de la recta es el parámetro m = –1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y = 5, dado que el valor de b = 5.

                          

Tipos de funciones:

• Función creciente: si a o m es mayor (positivo) que 0 la grafica es una recta creciente.
• Función decreciente: si a o m es menor (negativo) que 0 la grafica es una recta decreciente.
• Función constante: si a o m es igual a 0 la gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

¿Como representar una función lineal?
A través de este vídeo podremos representar una función lineal.

Practica del tema 

1) Graficar las siguientes funciones: f(x)= 3x+2, f(x)=-x+7, f(x)=4 

a) f(x)=3x+2: como vemos, el valor de la pendiente es positivo, por lo tanto la función es creciente. 

b) f(x) -x+7: como vemos, el valor de la pendiente es negativo, por lo tanto la función es decreciente. 

c) f(x)= 4: como vemos el valor de la pendiente es 0, por lo tanto la función es constante. 

2) Graficar las siguiente funciones utilizando la tabla de valores:         f(x)= 2x, f(x)=-3x+4

a) y = 2x

Vamos a hacerlo con dos valores de x para saber de donde salen los valores

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando  (1 , 2)

                                

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

b)y = - 3x + 4
 Vamos a hacerlo con dos valores de x para saber de donde salen los valores

       Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando (-1 , 7)

       Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando (2 , -2)

X	y = - 3x + 4
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

Funciones

La práctica de "Funciones" es una práctica poca vista en los años anteriores, por lo general, se ha aprendido mas la gráfica que llevarlas a problemas donde se profundiza más el tema para entenderlo por completo y sin dudas. Podemos ver que en la segunda parte de la práctica es donde se torna un poco más difícil, pero con la ayuda de la profesora se logró entenderla un poco más fácil. 

Números Reales

                                Sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es método para definir la posición de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos o más líneas de referencia. 

En geometría plana, dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones. Por lo general, el eje x es horizontal y el eje y es perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos ejes se le llama origen (O). El corte de estas rectas forman cuatro cuadrantes. Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que representan las distancias a los dos ejes. Por ejemplo, el punto (4, 2) es el punto que se encuentra alejado 4 unidades del eje y en la dirección positiva del eje x y a 2 unidades deleje x en la dirección positiva del eje y.

Número e

El número e (Euler),  al igual que el número PI, y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como PI, es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales.                                                                                                                                      

Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler.    

         

El número e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10. El valor de E, truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente: 2,71828182845904523536...

                                                      Número PI

El número π (pi) es la relación entre el perímetro de una circunferencia y la longitud de su diámetro, no es un número exacto, pertenece al conjunto de números irracionales, es decir, que tiene infinitos números decimales.

El número π (pi) entonces, es un número irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemática, física e ingeniería. El valor numérico de π truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es el siguiente: 3,14159 26535...

Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías.

Explicación con un ejemplo:

1) Tomar una lata cilíndrica.

2) Tomar un hilo o un cordel.

3) Cortar el hilo del tamaño exacto del perímetro del cilindro (una vuelta completa)

4) El número pi significa que ese hilo equivale a 3 veces el diámetro del cilindro, y sobrara un pequeño pedacito que es equivalente al 0,14..... del diámetro.

                              

                                       
                                           Número de oro 

El número áureo representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) es un número irracional en honor al escultor griego Fidias.

Se trata de un número algebraico irracional que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica.                                                                                         
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b

La ecuación se expresa de la siguiente manera:



Ejemplo del rectángulo áureo: 
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.


Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es:

Números Reales

                                              Perímetro y Área 

Llamamos perímetro a la suma de los lados de una figura geométrica, en su contorno. El área es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior.  

Teorema de Pitágoras 

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. 

Veamos si funciona con un ejemplo: Un triangulo de lados"3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcional. 

 

Veamos si las áreas son la misma:
                     
                   3² + 4² = 5²

Calculando obtenemos:

                  9 + 16 = 25
                   
         25(catetos)= 25(hipotenusa)

  

Vemos que el ejemplo funciona ya que el valor de la hipotenusa es igual a la suma de los valores de los catetos.

Practica de la teoría 
De una hoja rectangular se cortan dos triángulos isósceles de 4 cm² de área. ¿Cual es el perímetro de la cartulina restante?

1)  La base y la altura son las mismas, por lo tanto: 

2) Calculamos la hipotenusa:

3) Por último calculamos el perímetro:

Operaciones con radicales 

Números Reales

                                                  Valor absoluto 

El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea positivo (+) o negativo (-), resultando la distancia que existe entre entre el número y el cero.

Notación de intervalos 

La notación de intervalos en una forma de escribir subconjuntos de la recta numérica real entre dos dados. Entre los intervalos encontramos el cerrado, el abierto y los que son mitad abiertos y mitad cerrados.

Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus puntos finales: por ejemplo, el conjunto -3 ≤ x ≤ 1

Para escribir este intervalo en notación intervalo, usamos corchetes cerrados        [  ]:  [ –3, 1]

Un intervalo abierto es aquel que no incluye sus puntos finales: por ejemplo -3< x <1

Para escribir este intervalo en notación intervalo, usamos paréntesis abiertos: (-3,1)

Por ultimo puede haber intervalos que son mitad abiertos y mitad cerrados: [-2,4)

Practica del tema: Expresar los intervalos en términos de desigualdades.            

     1.  (-3; 0)= -3< x < 0 Intervalo abierto

     2.  [2;8)= 2 ≤ x < Intervalo semiabierto hacia la derecha

     3.  [2;∞)= x > 2 Intervalo semiabierto hacia la derecha

     4.  (2; 8]= 2< x ≤ 8  Intervalo semiabierto hacia la izquierda

     5.  [-6; 1/2]= -6 ≤ x ≤ 0,5 Intervalo cerrado                                                                6.  (-∞; 1)= x < 1 Intervalo abierto                                        

Números Reales

                                             Números Reales 

Llamamos números Reales al conjunto que pertenece a la recta numérica y comprende tanto a los números Racionales que a los Irracionales, ya que el conjunto de los racionales es denso, esto quiere decir que entre dos números es posible encontrar otro número. El conjunto de los Reales incluye a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

                         
                              Clasificación de los Números Reales


Números Racionales: son aquellos números cuyo conjunto está formado por los números enteros y todos los números fraccionarios; asignándoles como asignándoles como símbolo la letra "Q". Es decir, son aquellos que pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse siendo siempre como resultado un número racional.  
Números enteros: es aquel conjunto de números que incluye a los números naturales "N" distinto de cero, los enteros negativos y el número cero. Se designan con el símbolo de la letra "Z".
Números fraccionarios: es aquella expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad y se expresan de esa forma a/b o como decimales periódicos. 
Números Irracionales: son aquellos números que no pueden ser expresados como una fracción siendo un decimal con infinitas cifras aperiódicas, lo cual no puede representar un números racional. Esto significa que es imposible representar dicho número como razón de dos números enteros.

 

En conclusión, los números reales son un conjunto denso porque a diferencia de los enteros o naturales (aumentan o disminuyen de una unidad a otra), entre un número real y otro puede haber una cantidad infinita de números. Como por ejemplo entre 1 y 2 encontramos el 1,5; 1,25; 1,125...                                                        
                                       Sucesión Numérica

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números, es decir, un número detrás de otro siguiendo un orden.

Ejemplo:
El conjunto de los números naturales {1,2,3,4,5...}
El conjunto de los números pares {2,4,6,8,10...}

Cada uno de los números que forman una sucesión se les llama"termino", "elemento" o "miembro"

                        

Ponemos en practica el tema
 1)Observar el siguiente conjunto de números: {3,5,7...} ¿Cuál es el décimo termino de la sucesión numérica anterior? Para saberlo tendremos que construir una regla o fórmula:
1. Observamos que la sucesión sube 2 números cada vez...
2. Aplicamos entonces la regla obtenida "2n" donde "n" representa la posición que ocupa el termino.
3. Aplicamos la regla obtenida: 

                                
La regla da como resultado una unidad menos a los valores. 
4. Para que la regla de como resultado una unidad mas a los valores cambiamos el uso de la regla "2n" por "2n+1": 

5. La regla correcta para la secuencia {3,5,7...} es "2n+1", entonces el décimo lugar para la secuencia numérica es 21.
 2n+1= (2x10)+1= 20+1= "21" es el resultado. 

Tipos de sucesiones numéricas

• Sucesiones Aritméticas: son las que a cada término se le suma una constante (diferencia). Ejemplo: {1,4,7,10,13,16,19,22...} donde la regla es "3n-2".
• Sucesiones Geométricas: son en las que cada elemento del conjunto es multiplicado por una constante (razón). Ejemplo: {2,4,8,16,32,64,128} donde la regla es "2^n" 

                             

                         Progresión geométrica decreciente 

Una progresión geométrica decreciente e ilimitada es la que tiene infinitos términos cada vez más pequeños. Podemos representar a través del siguiente rectángulo.

Practica del tema 

1)  Dado un cuadrado de lado 1, se sigue el siguiente procedimiento:

• Se unen los puntos medios de sus lados determinando un cuadrado en su interior.
• Se repite el paso en el segundo cuadrado y así sucesivamente.
• Completar sabiendo que a, representa el área del cuadrado del paso n.   

       a1=1 a2=1/2 a3=1/4 a4=1/8 an= 1/2*n-1